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MISC » フーリエ変換の分かりやすい説明 -6

今回は波をちょっとずらした場合の離散フーリエ変換の結果を見て行きたいと思います。

まずはこれまでも用いた

x = {1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0}

の波は

になります。つまりコサイン波と一致します。これを離散フーリエ変換すると

f₁₀ = 20.0 + 0i

が得られます。これを複素数平面にプロットすると

となり位相スペクトルは0度になります。また、実部スペクトルは20、虚部スペクトルは0、パワースペクトル|f|は400、振幅スペクトル|f|/lnは0.5、位相スペクトルはarg(f)=tan^-1(20/0)=0度になります。

今度はこの波形を90度進めてみましょう。すると数列xは

x = {0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1}

になり、グラフは

になります。これを離散フーリエ変換すると

f₁₀ = 0.0 + 20.0i

が求まります。つまり実部スペクトルは0、虚部スペクトルは20、パワースペクトル|f|は400、振幅スペクトル|f|/lnは0.5、位相スペクトルはarg(f)=tan^-1(0/20)=90度になります。つまり位相スペクトルにはコサイン波から波を何度進めたかが現れます。

次に元の10Hzの波の振幅を2倍にしてみます。すると数列xは

x = {0, -2, 0, 2, 0, -2, 0, 2, 0, -2, 0, 2, 0, -2, 0, 2, 0, -2, 0, 2, 0, -2, 0, 2, 0, -2, 0, 2, 0, -2, 0, 2, 0, -2, 0, 2, 0, -2, 0, 2}

なります。これをグラフで表すと

これを離散フーリエ変換すると

f₁₀ = 0.0 + 40.0i

が求まります。つまり実部スペクトルは0、虚部スペクトルは40、パワースペクトル|f|は1600、振幅スペクトル|f|/lnは1.0、位相スペクトルはarg(f)=tan^-1(0/40)=90度になります。振幅のエネルギーを示すパワースペクトルが2の2乗倍、振幅の半分の値を示す振幅スペクトルの値が2倍になっているのが分かります。

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